高中数学易混淆知识点

时间：2022-03-20 08:22:02 高中数学我要投稿

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高中数学易混淆知识点

　　易混概念辨析切线和切线的长

高中数学易混淆知识点

　　“切线”和“切线的长”

　　请研究下面的问题：

　　已知：⊙O的半径为3cm，点P和圆心O的距离为6cm，经过P作⊙O的切线并求切线的长。

　　在这个问题中出现了“切线”和“切线的长”这两个名词，它们有什么区别?

　　和圆只有一个公共点的直线叫做圆的切线。如上面问题中过P点所作⊙O的切线PT，它和⊙O只有一个公共点T.

　　在切线上，某一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线的长。如上面问题中，P是切线PT上的一点，T是切点，线段PT的长就叫做P点到⊙O的切线的长。

　　由此可见，“切线”和“切线的长”这两个概念是有联系的。没有切线，就谈不上切线的长。但是，它们又是有区别的。切线是直线，不可以度量，谈不上具体的长度；切线的长则是切线上一条线段的长，即圆外一已知点到切点之间的距离，是可以度量的。切线是一条直线，它是一个图形；切线的长是一个数量。不能把图形和数量混为一谈。

　　了解了“切线”和“切线的长”的区别，我们回过头来分析上面的问题，所谓“过P点作圆O的切线”，是一个作图题，要求作出过P点和圆O相切的直线。而“求切线的长’则是一个计算题，要求算出线段PT的长度，两者的区别是很明显的，至于它们具体的作法和解法，就留给同学们自己去完成了。

　　易混概念辨析共点线和共线点

　　“共点线”和“共线点”

　　步枪射击时，战士要把自己的眼睛通过枪管前面的“准心”，瞄准敌方的目标。也就是说，从几何上看，就是要使眼睛、准心、目标三点共线，这样才能击中目标。

　　像这样位于同一条直线上的若干个点，叫做共线点。下面我们来证明一个“三点共线的问题”。

　　例：自三角形外接圆上任一点，分别作三角形三边或其延长线的垂线，试证三垂足共线。

　　已知：图中，⊙O是△ABC的外接圆，P是⊙O上的一点，PD、PE、PF分别垂直于直线AB、BC、AC，D、E、F是垂足。求证：D、E、F三点共线。

　　证明：连结BP、PC、DE、EF

　　∵∠BDP=∠PEB=90°，

　　∴B、D、E、P四点共圆。

　　∴∠BED=∠BPD ①

　　又∵∠PFC=∠PEC=90°，

　　∴C、E、P、F四点共圆，

　　∴∠CPF=∠CEF ②

　　又∵A、B、P、C四点共圆，

　　∴∠PCF=∠ABP ③

　　在Rt△BPD及Rt△CPF中，

　　由②，得∠CPF=∠CEF=∠BED

　　即∠CEF与∠DEB为对顶角。

　　∵BEC是一条直线，

　　∴DEF也是一条直线，即D、E、F三点共线。

　　在解析几何里，要证明A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)三点共线，常用下面的方法：

　　(1)用斜率公式，验证直线AB的斜率等于直线BC的斜率；

　　(2)用两点距离公式，验证线段AB、BC、CA中某两条线段的和，等于第三条线段的长；

　　(3)写出直线AB的方程，证明C点坐标满足方程，即C点在直线AB上。

　　在数学里，证明共点线的方法很多。若是用解析几何的方法，证明三条直线l1、l2、l3共点，可用下面这些方法：

　　(1)验证直线l1和l2的交点，也在直线l3上。

　　(2)证明直线l1、l2的交点与直线l2、l3的交点是同一个点。

　　共线点和共点线都是说直线和点的位置关系，前者是说若干个点都在一条直线上，后者是说若干条直线都通过某一个点，两者字形相仿，但意思不同。

　　与共线点、共点线类似的，还有共圆点、共点圆这两个不同的概念。同在一个圆上的点叫共圆点。比如对角互补的四边形，它的四个顶点共圆。若干个圆相交于同一个点，叫做共点圆。共点圆在探测地震震中时要用到。根据数据查出震中离地震台的距离，即震中在以地震台为圆心，该距离为半径的圆上。从三个不同地震台探测所得到三个圆的交点，就是所求的震中，这实际上就是几何中常用的轨迹交截法。

　　易混概念辨析等弧和等长的弧

　　“等弧”和“等长的弧”

　　什么叫“等弧”?能够互相重合的弧叫做等弧。

　　两条弧既然能够重合，那么它们所在圆的半径必然是相等的。也就是说，这两条弧所在的圆就一定是同圆，或者是等圆。如果两弧半径不等，它们是不能重合的。

　　等长的弧说的是不同的弧，它们的长度相等。我们分三种情况来讨论。

　　(1)在图1中，是同圆o中的两条等弧，它们能够重合，所以长度相等，即它们是等长的弧。

　　(2)在图2中，是等圆⊙O1和⊙O2中的两条等弧，它们能够重合，所以长度相等，即它们是等长的弧。

　　(3)在图3中，设⊙O1的半径为1，圆心角∠AO1B=60°，则

　　⊙O2的半径为2，圆心角∠CO2D=30°，则

　　所这说明是等长的弧，但因为它们的半径不等，不能重合，所以它们不是等弧。

　　由此可见，“等长的弧”可以是同圆中不同的弧，可以是等圆中不同的弧，还可以是不同圆中不同的弧。“等弧”只能是同圆或等圆中的弧。“等弧”一定是“等长的弧”，但“等长的弧”就未必是“等弧”。

　　易混概念辨析同圆、等圆和同心圆

　　“同圆”、“等圆”和“同心圆”

　　请研究下面的问题：

　　“在同一圆中，已知弦AB=12cm，弦CD=8cm，这两条弦的弦心距哪一个长?”

　　根据定理“在同圆中，有两条不相等的弦，大弦的弦心距较小”可知，弦CD的弦心距比弦AB的弦心距要大。注意，这个题目的前提是“同圆”，如果不是同一个圆，那么结论就未必成立。例如，图2中⊙O2的半径大于⊙O1的半径，它们既不是同圆，又不是等圆。⊙O2的弦AB大于⊙O1的弦CD，但是弦AB的弦心距却大于弦CD的弦心距。

　　再请研究下面的问题：

　　“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等。”这实际上是两个问题：

　　(1)在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等（图3）。

　　(2)在等圆中，相等的圆心角所对的弧相等（图4）。

　　前一个问题，定理指的是在同一个圆O中（图3），若∠AOB=∠COD，则

　　后一个问题，指的是在不同的两个圆（⊙O1、⊙O2）中，如果它们是等圆（即两圆半径相等），且∠AO1B=∠CO2D ，则

　　这个定理用叠合法不难得证。

　　由此可见，“同圆”指的是同一个圆，“等圆”则指的是半径相等的不同的圆，两者是不同的。但在研究时，两者常同时出现，即在“同圆或等圆中”研究某个性质。

　　最后，请研究下面的问题：

　　“求证：同心圆中，与小圆相切的大圆的弦相等。”

　　这里，“同心圆”指的是半径不等但圆心相同的圆。在图5中，AB、CD是大圆的两条弦，它们分别与小圆相切于E、F点。由于OE、OF是小圆的半径，

　　∴OE=OF

　　∴AB=CD（在大圆中，弦心距相等，则弦相等）。

　　所以，“同圆”指的是同一个圆，“等圆”指的是不同的圆，它们的位置不同，但半径相等；“同心圆”指的是不同的圆，它们的半径不等，但圆心相同。

　　易混概念辨析圆和圆面

　　“圆”和“圆面”

　　在我们的生活中，圆是一种最常见的图形。碗、盘、碟，月饼，车轮，水的波纹等等，都给我们以圆的形象。圆又被用来作为幸福、美好的象征。如人们常说“花好月圆”，“圆满”，“团圆”，就是这个意思。

　　什么是圆?在初中平面几何中，对圆是这样定义的：线段（AB）绕着一个端点（A）旋转一周，另一个端点（B）画出的图形叫做圆。

　　点运动成线。从圆的定义可以知道，圆是一个动点（B）和一个定点（A）距离等于定长（AB的长）的点的轨迹，它是一条线。我们还可以把圆说成是“到一个定点距离等于定长点的集合”。

　　在高中解析几何中，我们再次学习了圆。设圆的圆心为坐标原点，半径为r，圆上动点为P(x，y)，则根据两点间的距离公式可得圆的方程：

　　即 x2+y2=r2

　　若圆心不在原点，而它的坐标为(a，b)，圆的半径为r，动点为P(x，y)，则此圆的方程为

　　即 (x-a)2+(y-b)2=r2

　　这就是圆的一般方程。

　　我国战国时期有一位科学家叫墨翟（约前468-前376），后人根据他的思想和言论写成一部叫《墨经》的书。在这部书里，提出19条有关几何的内容，其中有一条就是圆的定义。当时是这样定义的：“圜，一中同长也。”这里的“圜”读作“huán”，就是我们今天所讲的圆或球面。“中”就是“定点”。“一中同长”，用我们今天的话来说，就是“到一个点距离相同的点的集合”。可见，2400年前，我们的老祖宗给圆的定义和今天教材里所讲的定义是完全一样的。

　　在实际生活中，“圆”指的是部分平面。如满月，指的不仅是月亮周围的曲线，而且包括曲线内部的曲线。月饼，也不仅表示月饼的周界，还包括周界所围成的部分平面。为了与圆区别起见，我们把由圆围成的部分平面称为圆面。所以，圆面可以理解为：

　　(1)线段AB绕着A点旋转一周，所得的部分平面；

　　(2)到定点（A）距离等于或小于定长点的集合。

　　在解析几何里，可以用下列方程或不等式表示圆面：

　　x2+y2≤r2（圆心在原点）(x-a)2+(y-b)2≤r2（圆心在(a，b)）

　　与“圆”和“圆面”这对概念类似，在立体几何中还有“球面”和“球”这对概念。不过要注意的是，这里的“球面”相当于“圆”，它是空间到定点距离为定长点的集合。球面是一个曲面，它的内部是空的，例如篮球就给我们以球面的形象。在空间解析几何中，球面的一般方程为

　　x2+y2+z2=r2（球心在原点）(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=r2（球心在(a，b，c)点）

　　这里“球”相当于“圆面”，它是空间到定点距离等于或小于定长点的集合。球是一个实体，例如铅球、地球就给我们以球的形象。在空间解析几何中，球的方程和不等式为：

　　x2+y2+z2≤r2（球心在原点）(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2≤r2（球心在(a，b，c)点）

　　易混概念辨析五心和中心

　　“五心”和“中心”

　　平面几何的作图，归根到底是画直线和弧。先求出某些特殊的交点，然后画出所求的图形。所以，找“特殊点”在几何作图里是非常重要的。

　　在三角形中，有五个“特殊点”，它们是：

　　(1)三角形三边中线交于一点，这一点叫做三角形的重心。图1中，AM1、BM2、CM3是△ABC的三条中线，M是它们的交点，M就是三角形的重心。设△ABC是一块均匀的薄板，如果我们将三角板水平放置，用一根针尖支撑在重心的地方，三角板能处于水平状态而不倒下。

　　(2)三角形三边的高交于一点，这一点叫做三角形的垂心。图2中，AH1、BH2、CH3是△ABC的三条高，H是它们的交点，H就叫做三角形的垂心。

　　(3)三角形三个角的平分线交于一点，这一点叫做三角形的内心。图3中，AT1、BT2、CT3是△ABC的三条角平分线，T是它们的交点，T就是三角形的内心。T点到三角形三边的距离相等，所以，以T为圆心，T到任何一边的距离为半径所画的圆，与△ABC三边相切。这个圆就叫做三角形的内切圆，“内心”由此得名。

　　(4)三角形三边垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心。图4中，OM1、OM2、OM3分别是△ABC三边AB、BC、AC的垂直平分线，它们相交于点O，O就是△ABC的外心。以O为圆心，OA为半径画圆，这就是△ABC的外接圆，“外心”由此得名。

　　(5)三角形一个角的平分线与其他两个外角的平分线交于一点，这点叫做三角形的旁心。一个三角形有三个旁心。在图5中，BS2是∠B的平分线，AS1、CS3是△ABC两个外角的平分线，BS2、AS1、CS3交于S点，S点叫做三角形的一个旁心。“旁心”的意思是三角形旁切圆的圆心，以S为圆心，S到∠B两边的距离为半径所画的圆叫做△ABC的旁切圆。

　　三角形的重心、垂心、内心、外心、旁心合称为三角形的五心。

　　正多边形与圆有密切的关系，因为画正多边形的实质就是等分圆周的问题。我们把过正多边形各顶点的圆叫做正多边形的外接圆。如图6中，⊙O就是正多边形ABCDEFGH的外接圆。与正多边形各边相切的圆叫做正多边形的内切圆。图6中，⊙O是正多边形A′B′C′D′E′F′G′H′的内切圆。正多边形的外接圆与内切圆的圆心叫做正多边形的中心。

　　五心，是三角形的五心；中心，在直线形中，只有正多边形才有中心。不要把三角形的五心和正多边形的中心混淆起来。

　　还要补充一下，“中心”这个概念在“相似中心”、“对称中心”里也用到，不过这里与正多边形中心的意义又不同了。

　　有趣的是，正三角形的重心、垂心、内心和外心和中心是同一个点。

　　请同学们回答：

　　(1)要从三角形铁片上剪下一个尽可能大的圆铁片来，应该怎么剪法?

　　(2)要把三角形的铁片平放入一个圆柱形桶中，这个铁桶底面直径至少要多大?如果这个铁桶正中有一根轴，应该在三角形铁片的什么地方钻一个孔，才能恰好套在轴上?

　　(3)要把一块三角形铁片剪成面积相等的三个三角形铁片，应该怎样剪法?

　　(4)三个村庄决定共修建一个小型发电厂，电厂建在什么地方，所用的输电线最短?

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