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高中函数解题技巧

时间:2019-11-20 08:04:37 高中 我要投稿

高中函数解题技巧

  在高中生在做关于函数的题目时,需要进行解题,那么都有哪些相关的解题技巧呢?下面是小编分享给大家的高中函数解题技巧,希望对大家有帮助。

  一。观察法

  通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。

  例1求函数y=3+√(2—3x) 的值域。

  点拨:根据算术平方根的性质,先求出√(2—3x) 的值域。

  解:由算术平方根的性质,知√(2—3x)≥0,

  故3+√(2—3x)≥3。

  ∴函数的知域为 。

  点评:算术平方根具有双重非负性,即:(1)被开方数的非负性,(2)值的非负性。

  本题通过直接观察算术平方根的性质而获解,这种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧法。

  练习:求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案:值域为:{0,1,2,3,4,5})

  二。反函数法

  当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。

  例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

  点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域。

  解:显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1—2y)/(y—1),其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y?y≠1,y∈R}。

  点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一。

  练习:求函数y=(10x+10—x)/(10x—10—x)的值域。(答案:函数的值域为{y?y<—1或y>1})

  三。配方法

  当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域

  例3:求函数y=√(—x2+x+2)的值域。

  点拨:将被开方数配方成完全平方数,利用二次函数的最值求。

  解:由—x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[—1,2]。此时—x2+x+2=—(x—1/2)2+9/4∈[0,9/4]

  ∴0≤√—x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]

  点评:求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。

  练习:求函数y=2x—5+√15—4x的值域。(答案:值域为{y?y≤3})

  四。判别式法

  若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。

  例4求函数y=(2x2—2x+3)/(x2—x+1)的值域。

  点拨:将原函数转化为自变量的二次方程,应用二次方程根的判别式,从而确定出原函数的值域。

  解:将上式化为(y—2)x2—(y—2)x+(y—3)=0 (*)

  当y≠2时,由Δ=(y—2)2—4(y—2)x+(y—3)≥0,解得:2

  当y=2时,方程(*)无解。∴函数的值域为2

  点评:把函数关系化为二次方程F(x,y)=0,由于方程有实数解,故其判别式为非负数,可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。

  练习:求函数y=1/(2x2—3x+1)的值域。(答案:值域为y≤—8或y>0)。

  五。最值法

  对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a)。f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。

  例5已知(2x2—x—3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。

  点拨:根据已知条件求出自变量x的取值范围,将目标函数消元、配方,可求出函数的值域。

  解:∵3x2+x+1>0,上述分式不等式与不等式2x2—x—3≤0同解,解之得—1≤x≤3/2,又x+y=1,将y=1—x代入z=xy+3x中,得z=—x2+4x(—1≤x≤3/2),

  ∴z=—(x—2)2+4且x∈[—1,3/2],函数z在区间[—1,3/2]上连续,故只需比较边界的大小。

  当x=—1时,z=—5;当x=3/2时,z=15/4。

  ∴函数z的值域为{z?—5≤z≤15/4}。

  点评:本题是将函数的.值域问题转化为函数的最值。对开区间,若存在最值,也可通过求出最值而获得函数的值域。

  练习:若√x为实数,则函数y=x2+3x—5的值域为 ( )

  A。(—∞,+∞) B。[—7,+∞] C。[0,+∞) D。[—5,+∞)

  (答案:D)。

  六。图象法

  通过观察函数的图象,运用数形结合的方法得到函数的值域。

  例6求函数y=?x+1?+√(x—2)2 的值域。

  点拨:根据绝对值的意义,去掉符号后转化为分段函数,作出其图象。

  解:原函数化为 —2x+1 (x≤1)

  y= 3 (—1

  2x—1(x>2)

  它的图象如图所示。

  显然函数值y≥3,所以,函数值域[3,+∞]。

  点评:分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象

  求函数的值域,体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。

  求函数值域的方法较多,还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。

  七。单调法

  利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。

  例1求函数y=4x—√1—3x(x≤1/3)的值域。

  点拨:由已知的函数是复合函数,即g(x)= —√1—3x,y=f(x)+g(x),其定义域为x≤1/3,在此区间内分别讨论函数的增减性,从而确定函数的值域。

  解:设f(x)=4x,g(x)= —√1—3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数,从而y=f(x)+g(x)= 4x—√1—3x

  在定义域为x≤1/3上也为增函数,而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此,所求的函数值域为{yy≤4/3}。

  点评:利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区间,结合函数的增减性,求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定函数的值域。

  练习:求函数y=3+√4—x 的值域。(答案:{yy≥3})

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